Задача про два автомобиля из профильного ЕГЭ

Обозначим скорость второго автомобиля как x км/ч
x
Пусть скорость второго автомобиля будет переменной x, тогда скорость первого — x + 20, так как она на 20 км/ч больше.

Выразим время движения каждого автомобиля
t1 = 120 / (x + 20), t2 = 120 / x
Время равно расстоянию, делённому на скорость. Первый автомобиль проехал 120 км со скоростью x + 20, второй — со скоростью x.

Составим уравнение по разнице во времени
120 / x - 120 / (x + 20) = 1
Первый прибыл на 1 час раньше, значит, время второго больше времени первого на 1 час.

Упростим уравнение
120(x + 20) - 120x = x(x + 20)
Умножаем обе части на x(x + 20) для избавления от знаменателей.

Раскроем скобки и приведём подобные
120x + 2400 - 120x = x² + 20x
Раскрываем левую часть: 120x + 2400 - 120x = 2400. Правая часть: x² + 20x.

Упрощаем уравнение
2400 = x² + 20x
Сокращаем 120x с обеих сторон, остаётся 2400 = x² + 20x.

Переносим всё в одну сторону
x² + 20x - 2400 = 0
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения.

Находим дискриминант
D = 20² - 4×1×(-2400) = 400 + 9600 = 10000
Дискриминант D = b² - 4ac для уравнения ax² + bx + c = 0.

Находим корни
x = (-20 ± √10000) / 2 = (-20 ± 100) / 2
Формула корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a.

Вычисляем значения
x1 = (-20 + 100) / 2 = 80 / 2 = 40, x2 = (-20 - 100) / 2 = -120 / 2 = -60
Один корень положительный, другой отрицательный. Скорость не может быть отрицательной.

Выбираем физически осмысленный корень
x = 40
Скорость второго автомобиля должна быть положительной, поэтому выбираем x = 40 км/ч.