Как научиться решать задачи по математике: универсальный метод
Главная причина ступора — «не знаю, с чего начать». Но начало известно всегда: выписать, что дано, и обозначить буквой то, что ищем. Дальше задача сводится к поиску связи между этими двумя списками. Ниже каждый шаг разобран отдельно, потом весь метод показан на одной задаче целиком, а в конце — что делать, когда не идёт совсем, и список разборов по темам.
Шесть шагов
| Шаг | Что делаете | Ориентир по времени |
|---|---|---|
| 1 | Читаете условие дважды | 1 мин |
| 2 | Выписываете «Дано» и «Найти» | 1–2 мин |
| 3 | Рисуете схему или таблицу | 1–2 мин |
| 4 | Ищете связь между данными и искомым | 3–10 мин |
| 5 | Считаете по действиям | 2–5 мин |
| 6 | Проверяете ответ | 1–2 мин |
Время ориентировочное, для задачи из домашней работы. Шаги 1–3 кажутся бюрократией, но именно на них теряются условия, из-за которых потом выходит неверный ответ. Пропускать их ради экономии — самая дорогая экономия в решении: минута на выписывание против получаса поиска ошибки.
Шаг 1. Прочитать условие дважды
Первое чтение — про что задача вообще. Второе — с карандашом: подчёркиваете каждое число и каждое слово, которое означает действие или связь.
Слова-указатели, которые стоит подчёркивать:
- «на … больше» / «на … меньше» — сложение и вычитание;
- «в … раз больше» / «в … раз меньше» — умножение и деление;
- «одновременно» — время у объектов общее;
- «навстречу» — скорости складываются;
- «вдогонку» — скорости вычитаются;
- «сплав», «раствор», «смесь» — работа с долями от целого;
- «от» в процентах — число, от которого считают процент.
Пропущенное «одновременно» или перепутанное «на 3 больше» и «в 3 раза больше» меняет ответ полностью, а найти такую ошибку задним числом трудно: все вычисления после неё правильные.
Шаг 2. Дано и найти
Выписывайте столбиком, с единицами измерения. Это рабочий инструмент: в физике на смешанных единицах — скорость в км/ч, время в минутах — ошибаются постоянно, и столбик «Дано» делает такое смешение видимым.
Дано: Найти:
v₁ = 60 км/ч t — ?
v₂ = 80 км/ч
s = 280 км
Сразу приведите единицы к одной системе. Путь в километрах — скорость в км/ч и время в часах. Путь в метрах — м/с и секунды. Скорость из км/ч в м/с переводят делением на 3,6.
Шаг 3. Схема или таблица
Рисунок нужен, чтобы увидеть связь, которую в тексте не видно.
Схема подходит для движения и геометрии: отрезок, две точки, стрелки навстречу, подписанные скорости. Полминуты работы — и видно, складывать скорости или вычитать.
Таблица подходит для задач на работу, проценты, смеси и сплавы. Строки — участники, столбцы — величины. Пример для задачи «к 200 г 15-процентного раствора добавили x г 40-процентного»:
| Масса раствора | Доля соли | Масса соли | |
|---|---|---|---|
| Первый | 200 г | 15 % | 30 г |
| Второй | x г | 40 % | 0,4x г |
| Смесь | (200 + x) г | ? | (30 + 0,4x) г |
Заполненная таблица сама подсказывает уравнение: последний столбец складывается по строкам, а доля смеси — это масса соли, делённая на массу раствора.
Шаг 4. Найти связь
Здесь и решается задача. Три приёма срабатывают чаще всего.
Идти от искомого. Что нужно найти? Время. Через что выражается время? Через путь и скорость: t = s / v. Путь известен? Да, 280 км. Скорость? Объекты едут навстречу, значит нужна скорость сближения — сумма двух. Решение собрано от конца к началу.
Обозначить неизвестное буквой. Не знаете, сколько было во втором сосуде, — назовите это x и выразите через него остальное. Уравнение появится, когда две части условия опишут одну и ту же величину по-разному. Как решать получившееся уравнение, разобрано в статье про линейные уравнения.
Вспомнить похожую задачу. Не «точно такую», а похожую по устройству. Задача про бассейн с двумя трубами и задача про двух рабочих решаются одинаково: производительности складываются.
Если за 10 минут связь не нашлась, переходите к разбору подсказки или решения. Час над одной задачей обычно не приближает к ответу: вы перестаёте видеть условие и ходите по кругу.
Шаг 5. Посчитать
Считайте по действиям с подписями, а не одной длинной строкой. Так ошибка видна сразу, и при неверном ответе не придётся пересчитывать всё заново.
1) 60 + 80 = 140 (км/ч) — скорость сближения
2) 280 : 140 = 2 (ч) — время до встречи
Подпись к действию — это ещё и то, что проверяющий хочет видеть в решении. Почему за верный ответ без хода рассуждений снижают оценку, разобрано в статье про оформление решения.
Шаг 6. Проверить
Три проверки, каждая занимает меньше минуты.
- Обратная подстановка. Подставьте найденное в условие. Машины за 2 часа проехали 60 · 2 = 120 и 80 · 2 = 160 км, вместе 280 — сходится.
- Здравый смысл. Скорость пешехода 200 км/ч, возраст брата 140 лет, 3,5 землекопа — где-то потеряна единица, знак или действие.
- Единицы. Ответ в тех величинах, о которых спрашивали? Спросили время — в ответе часы, а не километры.
Проверять нужно по условию, а не по своему уравнению. Если уравнение составлено неверно, его корень подойдёт к нему, а к условию — нет.
Метод целиком на одной задаче
Задача. Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы вместе?
Шаг 1. Читаем дважды. Подчёркиваем «6 часов», «3 часа», «обе вместе». Главное слово — «вместе»: трубы работают одновременно.
Шаг 2. Дано и найти. Дано: t₁ = 6 ч, t₂ = 3 ч. Найти: t — время совместной работы.
Шаг 3. Таблица. Весь бассейн примем за 1. Производительность — какая часть бассейна наполняется за час.
| Время, ч | Производительность, бассейна в час | |
|---|---|---|
| Первая труба | 6 | 1/6 |
| Вторая труба | 3 | 1/3 |
| Вместе | t | 1/6 + 1/3 |
Шаг 4. Связь. Идём от искомого: время = работа / производительность. Работа — 1 бассейн, совместная производительность — сумма двух.
Шаг 5. Считаем.
1) 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 (бассейна в час) — вместе
2) 1 : 1/2 = 2 (ч) — время совместной работы
Шаг 6. Проверяем. За 2 часа первая труба наполнит 2 · 1/6 = 1/3 бассейна, вторая — 2 · 1/3 = 2/3, вместе 1/3 + 2/3 = 1 бассейн — сходится. Здравый смысл: вместе быстрее, чем самая быстрая труба в одиночку (2 ч меньше 3 ч), — правдоподобно.
Ответ: 2 часа.
Частая ошибка в этой задаче — сложить или усреднить время: 6 + 3 = 9 часов или (6 + 3) / 2 = 4,5 часа. Проверка здравым смыслом отсекает оба варианта: две трубы не могут работать медленнее, чем одна вторая труба.
Что делать, когда совсем не идёт
Разбирайте чужие решения по шагам. Смотреть готовое решение полезно одним способом: прочитали первый шаг, закрыли, попробовали продолжить сами. Не вышло — открыли следующий шаг, сверились, пошли дальше. Прочитанное целиком решение даёт ощущение понимания, которое исчезает на следующей задаче. Так же стоит работать и с объяснениями нейросети — подробнее в статье про нейросети и домашние задания.
Сначала однотипные, потом вперемешку. Когда тема новая, решите подряд три-пять задач одного типа: на второй-третьей начинаете видеть их устройство. Но на контрольной тип задачи не подписан, и главный навык там — узнать его по условию. Поэтому при повторении перемешивайте задачи разных тем: так тренируется именно выбор метода, а не его механическое применение.
Ведите тетрадь ошибок. Одна строка на ошибку: что перепутали и как правильно. Через месяц в ней обнаружится три-четыре повторяющихся сюжета — это и есть ваши личные слабые места, и работать стоит с ними.
Объясняйте задачу вслух. Рассказ условия кому-то — самый быстрый способ найти, где именно вы его не понимаете: место, на котором запнётесь, и есть непонятое. Родителям, которые хотят помочь и при этом не решать за ребёнка, пригодится статья как помочь ребёнку с домашкой.
Спуститесь на уровень ниже. Не получается задача на составление уравнения — прорешайте десяток простых уравнений. Пробел обычно лежит на шаг раньше того места, где «болит».
Разборы задач по темам
Метод один, а детали у каждого типа свои. Разборы с решёнными примерами и проверкой:
- Задачи на движение — формула s = v · t и три типа: навстречу, вдогонку, по реке.
- Задачи на проценты — три базовых типа, скидки, цена до скидки, вклады и растворы.
- Линейные уравнения — алгоритм из пяти шагов, скобки, дроби и особые случаи.
- Системы уравнений — подстановка, сложение, графический способ и текстовые задачи.
- Теорема Пифагора — семь задач на прямоугольный треугольник и египетские тройки.
- Закон Ома — расчёт цепей: последовательное, параллельное и смешанное соединение.
- Моль и молярная масса — химические расчёты через количество вещества.
- Оформление решения — за что снижают оценку при верном ответе.
Все материалы темы — в разделе решения задач.
Частые вопросы
Сколько задач нужно решать в день?
Регулярность важнее объёма: 20–30 минут каждый день дают больше, чем три часа раз в неделю, потому что навык разбора условия закрепляется повторением через промежутки. На новой теме — несколько однотипных задач подряд, при повторении — вперемешку.
Что делать, если не получается совсем ничего?
Вернуться на уровень ниже. Не решается задача на составление уравнения — прорешайте десяток простых уравнений. Пробел обычно лежит не там, где болит, а на шаг раньше.
Помогает ли смотреть готовые решения?
Помогает, если смотреть по одному шагу и после каждого пробовать продолжить самому. Прочитанное целиком решение создаёт ложное ощущение понимания: кажется, что всё ясно, а следующая такая же задача не решается.
Нужно ли заучивать формулы?
Основные — да, их немного. Но формула без понимания, откуда она взялась, не спасает: в незнакомой задаче вы не поймёте, какую выбрать. Проверка простая — сможете ли вы объяснить, почему в задаче на движение навстречу скорости складываются.
Как перестать делать ошибки в вычислениях?
Записывать решение по действиям с подписями и делать обратную подстановку в условие. Эти две привычки ловят большую часть арифметических ошибок до того, как их увидит учитель.