Задачи на движение: формула и все типы

Главная формула и таблица всех типов

Смысл формулы s = v · t проще, чем её буквы: скорость — это путь за единицу времени, значит путь равен скорости, повторённой столько раз, сколько прошло единиц времени. Ехали со скоростью 60 км/ч ровно 2 часа — проехали 60 · 2 = 120 км. Проверка: 120 км за 2 часа — это 120 / 2 = 60 км/ч, сходится.

Запомнить, что на что делить, помогает треугольник: сверху s, снизу v и t. Закрываете пальцем искомую букву — оставшиеся две показывают действие: s сверху — оставшиеся перемножить, s внизу дроби — разделить s на известную величину.

Единицы измерения: одна система до первого действия

Перед решением приведите все величины к одной системе: путь в километрах — скорость в км/ч и время в часах; путь в метрах — м/с и секунды. Перевод скорости: из км/ч в м/с — разделить на 3,6, обратно — умножить. Например, 72 км/ч = 72 / 3,6 = 20 м/с. Проверка: 20 · 3,6 = 72 км/ч — сходится.

Типичная ошибка всей темы живёт именно здесь: скорость в км/ч умножают на время в минутах и получают бессмысленное число. Правило простое: смешанные единицы в одной формуле не встречаются никогда.

Задачи на движение навстречу

Что сделать. Найти скорость сближения — сумму скоростей — и работать с ней как с обычной скоростью в s = v · t. Логика суммы: за один час первый объект «съедает» v₁ километров расстояния между ними, второй — v₂, вместе — v₁ + v₂.

Пример. Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 70 км/ч и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

1. Скорость сближения: 70 + 80 = 150 км/ч.
2. Время до встречи: t = s / v = 300 / 150 = 2 ч.

Ответ: через 2 часа. Проверка: первый проехал 70 · 2 = 140 км, второй — 80 · 2 = 160 км, вместе 140 + 160 = 300 км — всё расстояние, сходится.

Как проверить. Сумма путей обоих объектов к моменту встречи обязана равняться исходному расстоянию — как в проверке выше. Заодно из неё бесплатно достаётся место встречи: в 140 км от первого города.

Типичная ошибка. Делить расстояние на одну из скоростей, забыв про второй объект: 300 / 70 — это время, за которое первый автомобиль проехал бы всё расстояние в одиночку, к встрече оно отношения не имеет.

Противоположные стороны: та же сумма

Зеркальный случай — объекты стартуют из одной точки и разъезжаются: скорости тоже складываются, только сумма называется скоростью удаления. Пример: два автобуса вышли с вокзала в противоположные стороны со скоростями 40 км/ч и 50 км/ч; через 3 часа расстояние между ними равно (40 + 50) · 3 = 270 км. Проверка: первый отъехал на 40 · 3 = 120 км, второй — на 50 · 3 = 150 км, между ними 120 + 150 = 270 км — сходится.

Задачи на движение вдогонку

Что сделать. Найти два числа: отставание в километрах на момент старта погони и скорость сближения — разность скоростей. Время погони — отставание, делённое на эту разность.

Пример. Пешеход вышел из посёлка со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через сколько часов велосипедист догонит пешехода?

1. Отставание к старту велосипедиста: за 3 часа пешеход прошёл 4 · 3 = 12 км.
2. Скорость сближения: 16 − 4 = 12 км/ч.
3. Время погони: 12 / 12 = 1 ч.

Ответ: через 1 час. Проверка: велосипедист за час проехал 16 · 1 = 16 км; пешеход к этому моменту шёл уже 3 + 1 = 4 часа и прошёл 4 · 4 = 16 км. Пути равны — встретились, сходится.

Как проверить. Посчитать путь каждого от общей точки старта до момента встречи: числа обязаны совпасть.

Типичная ошибка. Забыть фору: делить на разность скоростей само расстояние из условия или время, а не накопленное отставание в километрах. Фора — всегда первым действием.

Движение по реке

Что сделать. Определить две рабочие скорости. По течению река помогает: v = v собственная + v течения. Против течения — мешает: v = v собственная − v течения. Дальше — обычные s = v · t для каждого участка. Собственная скорость — это скорость в стоячей воде; у плота собственной скорости нет, он плывёт со скоростью течения.

Пример. Собственная скорость моторной лодки 15 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Лодка прошла 36 км по течению и вернулась обратно. Сколько времени заняла вся дорога?

1. Скорость по течению: 15 + 3 = 18 км/ч; время туда: 36 / 18 = 2 ч.
2. Скорость против течения: 15 − 3 = 12 км/ч; время обратно: 36 / 12 = 3 ч.
3. Вся дорога: 2 + 3 = 5 ч.

Ответ: 5 часов. Проверка: по течению 18 · 2 = 36 км, против течения 12 · 3 = 36 км — оба участка равны условию, сходится.

Как проверить. Время против течения обязано получиться больше времени по течению на том же участке — река мешает. Вышло наоборот — скорости перепутаны местами.

Типичная ошибка. Считать «средней скоростью туда-обратно» собственную скорость и делить весь путь на неё: 72 / 15 даёт 4,8 ч вместо правильных 5. Участки по течению и против считаются только по отдельности.

Единый приём: таблица s–v–t

Когда участков или объектов больше одного, надёжнее всего работает таблица с тремя столбцами — s, v, t — и строкой на каждого участника. Правила заполнения: известные числа вписываются сразу, искомое обозначается x, а третья клетка каждой строки выражается через формулу s = v · t. Связь между строками — из сюжета задачи: пути равны, время одинаковое, одно больше другого на столько-то.

Вот задача про велосипедиста и пешехода из раздела о погоне, решённая таблицей. Пусть x — время велосипедиста в пути; пешеход к моменту встречи идёт на 3 часа дольше:

Догнал — значит пути равны: 16x = 4(x + 3). Раскрываем скобки: 16x = 4x + 12, отсюда 12x = 12 и x = 1 час — тот же ответ, что и через скорость сближения. Проверка: 16 · 1 = 16 км у велосипедиста и 4 · (1 + 3) = 16 км у пешехода — сходится.

Сила таблицы в том, что она не требует угадывать тип задачи: любые сюжеты — с форой, с остановками, с разными участками — раскладываются по строкам одинаково, а уравнение читается прямо из последнего столбца. Если способ «через ключевую скорость» вызывает сомнения, решайте таблицей: дольше на минуту, зато без шансов запутаться.

Как понять, какой тип задачи перед вами?

Три вопроса к условию — в этом порядке:

1. Сколько движущихся объектов? Один — чистая формула s = v · t, возможно, в несколько участков. Два — смотрим на направления.
2. Куда направлены? Друг к другу — навстречу, складываем скорости. В одну сторону с разными скоростями — вдогонку, вычитаем. В разные стороны из одной точки — удаление, снова складываем.
3. Есть ли в условии река, течение, плот? Есть — сначала выписать скорости по течению и против, затем решать как обычные участки.

После определения типа выпишите ключевую скорость — сближения, удаления или с поправкой на течение — и задача сводится к базовой формуле. Именно этот шаг стоит проговаривать в решении письменно: проверяющие обычно снижают за действия без пояснений, даже когда ответ верный.

Чек-лист решения задачи на движение

• Все величины приведены к одной системе единиц
• Сделана краткая запись: что известно, что найти
• Определён тип задачи и выписана ключевая скорость
• Каждое действие подписано словами: что именно находим
• Ответ проверен обратной подстановкой в условие
• В ответе указана единица измерения

Пункт про пояснения и единицы — не формальность: как оформить ход решения, чтобы к нему не было претензий, разобрано в статье про оформление решения задач. Той же привычке проверять ответ подстановкой учит и геометрия — см. разбор задач на теорему Пифагора. Остальные темы с разобранными задачами собраны в разделе решения задач.