Задачи на проценты: все типы с примерами решений

Три базовых типа

Перевод процента в долю — деление на 100: 25 % = 0,25; 7 % = 0,07; 150 % = 1,5. Обратно — умножение на 100.

Тип 1. Процент от числа

Задача. В классе 25 учеников, 40 % из них занимаются спортом. Сколько человек занимается спортом?

1. Переводим процент в долю: 40 % = 0,4.
2. Умножаем: 25 · 0,4 = 10.

Ответ: 10 человек. Проверка: 10 : 25 · 100 = 40 % — сходится.

Тип 2. Число по его проценту

Задача. Ученик прочитал 36 страниц, это 30 % книги. Сколько страниц в книге?

1. 30 % = 0,3.
2. Делим: 36 : 0,3 = 120.

Ответ: 120 страниц. Проверка: 120 · 0,3 = 36 — сходится.

Здесь чаще всего путают действие и умножают вместо деления, получая 10,8 страницы. Ориентир: если известная часть меньше 100 %, всё число обязано получиться больше этой части. 10,8 меньше 36 — значит, действие перепутано.

Тип 3. Сколько процентов одно число от другого

Задача. Из 40 задач ученик решил 34. Какой процент он выполнил?

1. Делим часть на целое: 34 : 40 = 0,85.
2. Умножаем на 100: 85 %.

Ответ: 85 %. Проверка: 40 · 0,85 = 34 — сходится.

Делить всегда нужно на то число, от которого считают проценты. В вопросе «сколько процентов 34 от 40» это 40, оно стоит после слова «от».

На сколько процентов одно число больше другого?

Этот тип путают с третьим, а ответ зависит от того, с чем сравнивают. Разницу делят на то число, с которым сравнивают.

Задача. В одном классе 60 учебников, в другом 50. На сколько процентов в первом классе учебников больше? А на сколько во втором меньше?

1. Разница: 60 − 50 = 10.
2. «Больше, чем во втором» — сравниваем с 50: 10 : 50 · 100 = 20 %.
3. «Меньше, чем в первом» — сравниваем с 60: 10 : 60 · 100 ≈ 16,7 %.

Ответ: больше на 20 %, меньше примерно на 16,7 %. Проверка: 50 · 1,2 = 60, сходится.

Проценты разные, хотя разница та же — 10 учебников. Поэтому «первое больше второго на 20 %» не означает «второе меньше первого на 20 %».

Скидки и наценки

Скидка. Товар стоил 2400 ₽, скидка 15 %. Сколько платить?

Через остаток короче: после скидки остаётся 100 − 15 = 85 % цены, то есть 2400 · 0,85 = 2040 ₽.

Длинный путь даёт то же: 2400 · 0,15 = 360 ₽ скидка, 2400 − 360 = 2040 ₽. Способ через остаток экономит действие, а в задачах с несколькими изменениями подряд без него запутаться легко.

Наценка. Закупочная цена 500 ₽, наценка 30 %. Цена в магазине: 500 · 1,3 = 650 ₽. Проверка: 650 − 500 = 150 ₽, и 150 : 500 · 100 = 30 % — сходится.

Две скидки подряд. Товар за 1000 ₽, скидка 20 %, затем ещё 10 % от новой цены.

1. После первой: 1000 · 0,8 = 800 ₽.
2. После второй: 800 · 0,9 = 720 ₽.

Итоговая скидка — не 30 %, а 28 %: 1000 − 720 = 280 ₽, то есть 280 : 1000 · 100 = 28 %. Проценты от разных чисел не складываются.

Как найти цену до скидки?

Это второй базовый тип, спрятанный в сюжет: известна цена после изменения, нужна исходная. Цена после скидки — часть, а исходная цена — целое, поэтому делим на долю.

Задача. После скидки 15 % куртка стоит 2040 ₽. Сколько она стоила до скидки?

1. После скидки осталось 100 − 15 = 85 % исходной цены.
2. 2040 ₽ — это 85 %, значит исходная цена 2040 : 0,85 = 2400 ₽.

Ответ: 2400 ₽. Проверка: 2400 · 0,85 = 2040 ₽ — сходится.

Типичная ошибка — прибавить 15 % к цене со скидкой: 2040 · 1,15 = 2346 ₽. Проверка разоблачает её сразу: 15 % от 2346 — это не 306 ₽, а около 352 ₽, и цена со скидкой получилась бы около 1994 ₽, а не 2040.

Банковские проценты

Простые проценты начисляются только на первоначальную сумму. Вклад 50 000 ₽ под 8 % годовых на 3 года: 50 000 · 0,08 = 4000 ₽ в год, за 3 года 12 000 ₽. Итого 62 000 ₽.

Сложные проценты начисляются на сумму вместе с уже начисленными процентами. Тот же вклад:

1. Первый год: 50 000 · 1,08 = 54 000 ₽.
2. Второй: 54 000 · 1,08 = 58 320 ₽.
3. Третий: 58 320 · 1,08 = 62 985,60 ₽.

Формула для n лет: S = S₀ · (1 + p/100)ⁿ, где S₀ — начальная сумма, p — процент годовых. Для нашего случая 50 000 · 1,08³ = 62 985,60 ₽.

Разница с простыми процентами — 985,60 ₽ за три года. На длинных сроках она растёт быстро: за 10 лет тот же вклад даёт 90 000 ₽ по простым процентам и около 107 946 ₽ по сложным, разница почти 18 000 ₽.

Концентрация растворов

Задачи на растворы — те же проценты, только величина называется массовой долей. Удобнее всего считать через таблицу, где главное — масса растворённого вещества, а не масса раствора.

Задача. К 200 г 15-процентного раствора соли добавили 100 г воды. Какой стала концентрация?

Соли осталось столько же — 30 г, раствора стало 300 г. Концентрация: 30 : 300 · 100 = 10 %.

Ответ: 10 %. Проверка: 300 · 0,1 = 30 г соли — сходится.

При добавлении воды масса вещества не меняется, меняется только масса раствора. Поэтому считайте граммы вещества, а не проценты: 15 % и 0 % не усредняются в 7,5 %. Если смешивают два раствора и неизвестны обе массы, получается система из двух уравнений — такой пример решён в статье про системы уравнений, задача 3.

Процентные пункты

Ставка выросла с 5 % до 7 %. Это рост на 2 процентных пункта, но на 40 % от прежнего значения: 2 : 5 · 100 = 40.

Процентный пункт — разница двух величин, которые сами выражены в процентах. «Доля отличников выросла на 2 %» и «выросла на 2 процентных пункта» — разные утверждения: при исходных 20 % первое даёт 20,4 %, второе — 22 %. В задачах по экономике и обществознанию смотрите на точную формулировку.

Чек-лист проверки

• Процент переведён в долю делением на 100
• Названо число, от которого берётся процент
• Если известна часть, а ищут целое, — деление, и ответ больше части
• При двух изменениях подряд второе считается от нового числа
• В «на сколько процентов больше или меньше» разница делится на число, с которым сравнивают
• Ответ правдоподобен: скидка меньше цены, доля части не больше 100 %
• Сделана обратная подстановка

Общий порядок разбора любой задачи, от условия до проверки, — в статье как научиться решать задачи. Массовая доля в химии считается по той же логике, а связь массы с количеством вещества разобрана в задачах на моль и молярную массу. Требования к записи решения — в статье про оформление решения, остальные темы — в разделе решения задач.