Линейные уравнения: пошаговый алгоритм

Алгоритм из пяти шагов

Проверку делают именно в исходном уравнении. Если ошибка случилась на втором шаге, подстановка в строку после третьего шага её не поймает: корень подойдёт к ошибочному уравнению.

Почему при переносе меняется знак

Перенос через знак равенства — это сокращённая запись одного действия: к обеим частям прибавили или из обеих частей вычли одно и то же число. Равенство от этого не нарушается, как не нарушается равновесие весов, если с обеих чаш снять по одинаковой гире.

Возьмём 5x − 3 = 2x + 9. Прибавим к обеим частям 3: 5x = 2x + 12. Вычтем из обеих частей 2x: 3x = 12. Слово «перенос» просто экономит эти две строки. Кто понимает, откуда берётся смена знака, тот не путается, когда переносить приходится справа налево.

Переносить x можно и вправо. В уравнении 2x + 7 = 5x − 2 удобнее собрать x справа, где коэффициент больше: 7 + 2 = 5x − 2x, 9 = 3x, x = 3. Соберите x слева — получите −3x = −9 и тот же корень, но с двумя лишними минусами.

Пример 1. Без скобок

Решить 5x − 3 = 2x + 9.

Скобок нет, первый шаг пропускаем.

Обе части дали 17 — корень найден верно. Ответ: x = 4.

Пример 2. Со скобками

Решить 3(x − 2) = 2(x + 1) − 4.

1. Раскрываем скобки: 3x − 6 = 2x + 2 − 4.
2. Считаем числа справа: 3x − 6 = 2x − 2.
3. Переносим: 3x − 2x = −2 + 6.
4. Приводим подобные: x = 4.
5. Проверка: слева 3(4 − 2) = 6, справа 2(4 + 1) − 4 = 10 − 4 = 6. Совпало.

Ответ: x = 4.

Пример 3. Минус перед скобкой

Решить 7 − (2x − 3) = 3x − 5.

1. Раскрываем скобку с минусом: меняются знаки обоих слагаемых, 7 − 2x + 3 = 3x − 5.
2. Считаем числа слева: 10 − 2x = 3x − 5.
3. Собираем x справа, числа слева: 10 + 5 = 3x + 2x.
4. Приводим: 15 = 5x, x = 3.
5. Проверка: слева 7 − (2 · 3 − 3) = 7 − 3 = 4, справа 3 · 3 − 5 = 4. Совпало.

Ответ: x = 3.

Если раскрыть скобку неправильно — 7 − 2x − 3, — получится 4 − 2x = 3x − 5 и x = 1,8. Проверка сразу покажет разницу: слева 7 − (3,6 − 3) = 6,4, справа 5,4 − 5 = 0,4.

Пример 4. С дробями

Решить (x + 1)/2 − (x − 1)/3 = 1.

Дроби убирают умножением обеих частей на общий знаменатель. Для 2 и 3 это 6, и умножать надо каждое слагаемое, включая правую часть:

1. Умножаем на 6: 3(x + 1) − 2(x − 1) = 6.
2. Раскрываем скобки: 3x + 3 − 2x + 2 = 6. Минус перед второй скобкой превратил −2 · (−1) в +2.
3. Приводим подобные: x + 5 = 6.
4. Переносим: x = 1.
5. Проверка: (1 + 1)/2 − (1 − 1)/3 = 1 − 0 = 1. Совпало.

Ответ: x = 1.

Числитель дроби после умножения берите в скобки, как в первом пункте. Без скобок минус перед дробью достанется только первому слагаемому числителя — это та же ошибка, что в примере 3, только спрятанная.

Пример 5. С десятичными коэффициентами

Решить 0,2x + 1,5 = 0,5x − 0,3.

Считать с запятыми можно, но проще от них избавиться: умножаем обе части на 10.

1. После умножения: 2x + 15 = 5x − 3.
2. Переносим x вправо, числа влево: 15 + 3 = 5x − 2x.
3. Приводим: 18 = 3x, x = 6.
4. Проверка: слева 0,2 · 6 + 1,5 = 2,7, справа 0,5 · 6 − 0,3 = 2,7. Совпало.

Ответ: x = 6.

Множитель выбирают по самому длинному хвосту после запятой: один знак — на 10, два знака — на 100.

Когда корней нет или подходит любое число

Иногда после переноса слагаемые с x взаимно уничтожаются. Коэффициент при x становится нулём, делить на него нельзя, и остаётся числовое равенство.

Пример первого: 2x + 3 = 2x + 5 → 2x − 2x = 5 − 3 → 0 = 2. Корней нет.

Пример второго: 2(x + 1) = 2x + 2 → 2x + 2 = 2x + 2 → 0 = 0. Корень — любое число.

Это не ошибка в решении. Такие уравнения дают в самостоятельных работах, чтобы проверить, понимает ли ученик смысл записи 0 · x = 2, а не только механику переноса.

Уравнения, которые только выглядят нелинейными

Степень уравнения видно после приведения подобных, а не в исходной записи.

Если x² стоит в обеих частях с одинаковым коэффициентом, он уничтожится, и дальше работает обычный алгоритм. Если коэффициенты разные, уравнение квадратное — там другой метод.

Текстовые задачи, которые сводятся к линейному уравнению

Схема одна: обозначить неизвестное буквой, выразить через неё остальные величины, составить равенство и решить его по алгоритму.

Задача 1. Задумали число, умножили на 3 и вычли 8. Получилось 22. Какое число задумали?

Пусть задуманное число x. Тогда 3x − 8 = 22. 3x = 30, x = 10. Проверка: 3 · 10 − 8 = 22. Верно. Ответ: 10.

Задача 2. В двух ящиках 60 кг яблок, в первом на 12 кг больше, чем во втором. Сколько яблок в каждом?

Пусть во втором ящике x кг, тогда в первом x + 12 кг. x + (x + 12) = 60 → 2x + 12 = 60 → 2x = 48 → x = 24. В первом: 24 + 12 = 36 кг. Проверка: 24 + 36 = 60 кг, разница 36 − 24 = 12 кг. Верно. Ответ: 24 кг и 36 кг.

Задача 3. Периметр прямоугольника 42 см, длина вдвое больше ширины. Найти стороны.

Пусть ширина x см, тогда длина 2x см. 2(x + 2x) = 42 → 6x = 42 → x = 7. Длина: 2 · 7 = 14 см. Проверка: 2 · (7 + 14) = 42 см. Верно. Ответ: 7 см и 14 см.

За x удобно брать ту величину, с которой сравнивают остальные: в задаче 2 это второй ящик («в первом на 12 больше, чем во втором»), в задаче 3 — ширина. Тогда остальные выражаются сложением и умножением, без дробей.

Проверять ответ текстовой задачи нужно по условию, а не по уравнению. Уравнение могло быть составлено неверно, и корень ему подойдёт, а условию — нет.

Как оформлять запись в тетради

Учитель читает не только ответ, но и ход решения: по нему видно, где ошибка — в понимании или в счёте. Подробно о том, за что снижают при верном ответе, — в статье про оформление решения.

• Каждое преобразование — с новой строки, знак равенства под знаком равенства.
• Не писать цепочку 5x − 3 = 2x + 9 = 3x = 12. Это разные уравнения, а знак «=» между ними утверждает, что 2x + 9 равно 3x, что неверно.
• Проверку писать отдельной строкой: «Проверка: 5 · 4 − 3 = 17; 2 · 4 + 9 = 17».
• В конце — слово «Ответ:» и корень, для особых случаев — «корней нет» или «x — любое число».

Пять частых ошибок

1. Не сменили знак при переносе. 5x − 3 = 2x + 9 → 5x − 2x = 9 − 3 даёт x = 2, а верный корень 4.
2. Минус перед скобкой раскрыли только у первого слагаемого. −(x − 1) — это −x + 1, а не −x − 1.
3. Умножили на общий знаменатель не все слагаемые. Правую часть и слагаемые без дроби забывают чаще всего.
4. Разделили на коэффициент только одну часть. Из −3x = 18 получается x = −6: делим обе части на −3 вместе со знаком.
5. Не сделали проверку. Полминуты, которые ловят почти любую арифметическую ошибку.

Чек-лист решения

• Скобки раскрыты, после минуса сменены знаки всех слагаемых
• Дроби и запятые убраны умножением всех слагаемых
• Слагаемые перенесены с изменением знака
• Подобные приведены отдельно для x и отдельно для чисел
• Обе части разделены на коэффициент при x вместе с его знаком
• Корень подставлен в исходное уравнение, обе части совпали
• Каждое преобразование — с новой строки, в конце записан ответ

Этот алгоритм — основа следующей темы: системы уравнений решаются тем, что два уравнения сводят к одному линейному. Те же уравнения составляют в физике, когда из формулы нужно выразить величину, — пример в разборе задач на закон Ома. Остальные темы с решениями собраны в разделе решения задач.