Системы уравнений: три способа решения

Как выбрать способ

Способ 1. Подстановка

Смысл способа: выразить одно неизвестное из одного уравнения и подставить это выражение во второе. Получится обычное линейное уравнение с одной буквой.

Решить систему y = 2x − 1 и 3x + y = 9.

1. Первое уравнение уже даёт выражение для y.
2. Подставляем его во второе: 3x + (2x − 1) = 9.
3. Решаем: 5x − 1 = 9 → 5x = 10 → x = 2.
4. Возвращаемся к выражению: y = 2 · 2 − 1 = 3.
5. Проверка в обоих уравнениях: 3 = 2 · 2 − 1 — верно; 3 · 2 + 3 = 9 — верно.

Ответ: (2; 3).

Если ни одно неизвестное не выражено, выражайте то, у которого коэффициент 1 или −1. Пример: x + 2y = 7 и 3x − y = 7.

1. Из первого: x = 7 − 2y.
2. Подставляем во второе: 3(7 − 2y) − y = 7 → 21 − 6y − y = 7 → −7y = −14 → y = 2.
3. x = 7 − 2 · 2 = 3.
4. Проверка: 3 + 2 · 2 = 7 — верно; 3 · 3 − 2 = 7 — верно.

Ответ: (3; 2).

Выражение при подстановке берите в скобки. Без скобок 3 · 7 − 2y вместо 3(7 − 2y) даёт неверное уравнение, и ошибку потом трудно найти.

Способ 2. Сложение

Смысл способа: сложить или вычесть уравнения так, чтобы одно неизвестное исчезло. Работает, потому что к равным величинам прибавляют равные: левые части складываются с левыми, правые с правыми.

Решить систему 3x + y = 11 и 2x − y = 4.

1. Коэффициенты при y противоположны: +1 и −1.
2. Складываем почленно: (3x + 2x) + (y − y) = 11 + 4 → 5x = 15.
3. x = 3.
4. Подставляем в первое: 3 · 3 + y = 11 → y = 2.
5. Проверка во втором: 2 · 3 − 2 = 4 — верно.

Ответ: (3; 2).

Если коэффициенты не противоположны, их уравнивают домножением. Для системы 2x + 3y = 16 и x − y = 3 умножаем второе уравнение на 2:

• 2x + 3y = 16
• 2x − 2y = 6

Вычитаем второе из первого: 3y − (−2y) = 5y, 16 − 6 = 10, значит 5y = 10 и y = 2. Тогда x = 3 + 2 = 5. Проверка: 2 · 5 + 3 · 2 = 16 — верно; 5 − 2 = 3 — верно. Ответ: (5; 2).

Когда домножать приходится оба уравнения, ищите наименьшее общее кратное коэффициентов. Для 3t + 2r = 190 и 2t + 5r = 200 уравнивать r: у 2 и 5 общее кратное 10, первое умножаем на 5, второе на 2. Полностью этот пример решён ниже, в задаче 2.

Способ 3. Графический

Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными задаёт прямую на координатной плоскости. Решение системы — точка, где прямые пересекаются: её координаты подходят к обоим уравнениям.

Возьмём ту же систему, что во втором способе: 3x + y = 11 и 2x − y = 4.

1. Выражаем y из каждого уравнения: y = 11 − 3x и y = 2x − 4.
2. Для каждой прямой берём две удобные точки. Первая: при x = 0 получаем y = 11, при x = 3 — y = 2. Вторая: при x = 0 получаем y = −4, при x = 3 — y = 2.
3. Проводим прямые. Они пересекаются в точке (3; 2) — ответ совпал со сложением.
4. Проверяем подстановкой в оба уравнения. По чертежу координаты читаются приблизительно, и без проверки ответ не считается надёжным.

Графический способ сразу показывает, сколько у системы решений:

Как узнать число решений без чертежа

Приведите оба уравнения к виду ax + by = c и сравните коэффициенты. Если числа во втором уравнении не нулевые, удобно сравнивать отношения:

• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ — одно решение, прямые пересекаются;
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — решений нет, прямые параллельны;
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ — решений бесконечно много, прямые совпадают.

Пример: 2x + 3y = 6 и 4x + 6y = 5. Отношения 2/4 = 3/6 = 0,5, а 6/5 = 1,2 — решений нет. Попробуйте решить эту систему сложением: умножив первое на 2 и вычтя второе, получите 0 = 7.

Если в знаменателе оказался ноль, сравнивайте произведения крест-накрест: при a₁ · b₂ ≠ a₂ · b₁ решение одно.

Если одно уравнение не линейное

В 9 классе встречаются системы, где одно уравнение содержит x², y² или xy. Основной способ для них — подстановка: выражают неизвестное из линейного уравнения и подставляют в нелинейное.

Решить систему x + y = 5 и x² + y² = 13.

1. Из первого: y = 5 − x.
2. Подставляем: x² + (5 − x)² = 13 → x² + 25 − 10x + x² = 13 → 2x² − 10x + 12 = 0.
3. Делим на 2: x² − 5x + 6 = 0. Корни x = 2 и x = 3 (по теореме Виета: сумма 5, произведение 6).
4. Находим y для каждого: при x = 2 y = 3, при x = 3 y = 2.
5. Проверка: 2 + 3 = 5 и 4 + 9 = 13 — верно; для второй пары так же.

Ответ: (2; 3), (3; 2).

У такой системы решений может быть два, одно или ни одного, поэтому y находят для каждого корня x. Записать в ответ только одну пару — типичная потеря балла.

Текстовые задачи, которые решаются системой

Признак такой задачи: две неизвестные величины и два независимых условия, связывающих их. Обозначьте обе величины буквами, по каждому условию запишите уравнение и решите систему удобным способом.

Задача 1. В кинотеатре 200 мест. Взрослый билет стоит 300 ₽, детский — 150 ₽. При полном зале выручка составила 45 000 ₽. Сколько было детских билетов?

Пусть x — число взрослых билетов, y — детских. По числу мест: x + y = 200. По выручке: 300x + 150y = 45 000. Из первого y = 200 − x. Подставляем во второе: 300x + 150(200 − x) = 45 000 300x + 30 000 − 150x = 45 000 150x = 15 000 → x = 100, значит y = 100. Проверка: 100 + 100 = 200 мест; 300 · 100 + 150 · 100 = 45 000 ₽. Верно. Ответ: 100 детских билетов.

Задача 2. Три тетради и две ручки стоят 190 ₽, две тетради и пять ручек — 200 ₽. Сколько стоит тетрадь?

Пусть t — цена тетради, r — цена ручки (в рублях). 3t + 2r = 190 2t + 5r = 200 Уравниваем коэффициенты при r: первое умножаем на 5, второе на 2. 15t + 10r = 950 4t + 10r = 400 Вычитаем: 11t = 550 → t = 50. Из первого: 3 · 50 + 2r = 190 → 2r = 40 → r = 20. Проверка: 3 · 50 + 2 · 20 = 190 ₽; 2 · 50 + 5 · 20 = 200 ₽. Верно. Ответ: тетрадь стоит 50 ₽.

Задача 3 (на смеси). Смешали 30-процентный и 70-процентный растворы соли и получили 200 г 40-процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли?

Пусть x г — масса первого раствора, y г — второго. По массе раствора: x + y = 200. По массе соли: 0,3x + 0,7y = 0,4 · 200 = 80. Из первого y = 200 − x, подставляем: 0,3x + 0,7(200 − x) = 80 → 0,3x + 140 − 0,7x = 80 → −0,4x = −60 → x = 150. Тогда y = 200 − 150 = 50. Проверка: 0,3 · 150 + 0,7 · 50 = 45 + 35 = 80 г соли. Верно. Ответ: 150 г первого раствора и 50 г второго.

Первая строка решения — что обозначает каждая буква и в каких единицах. Без неё проверяющий не поймёт, какое из двух найденных чисел отвечает на вопрос задачи, а в задаче 1 спрашивали именно про детские билеты, то есть про y.

Как оформлять решение

• Систему записывают фигурной скобкой слева, уравнения — одно под другим.
• Каждое преобразование — с новой строки. При сложении удобно подписывать справа, на что умножено уравнение: «| · 2».
• Проверка делается в оба исходных уравнения.
• Ответ — пара в скобках через точку с запятой, сначала x, потом y: (3; 2). Если решений несколько, перечисляются все пары.
• Для особых случаев пишут словами: «решений нет» или «бесконечно много решений».

Что ещё проверяющий ждёт увидеть в ходе решения и за что снижают при верном ответе — в статье про оформление решения задач.

Пять частых ошибок

1. Проверка только в одном уравнении. Если подставить найденный y обратно в то же уравнение, из которого его считали, равенство сойдётся всегда. Проверка имеет смысл во втором уравнении.
2. Потерян знак при вычитании. Вычитая уравнение, меняйте знак у каждого его слагаемого: 3y − (−2y) = 5y, а не y.
3. Найден x, забыт y. Ответ системы — пара чисел.
4. Ответ по чертежу без проверки. Пересечение «примерно в точке (3; 2)» на деле может оказаться (2,9; 2,1).
5. Порядок чисел в паре перепутан. (2; 3) и (3; 2) — разные точки. Первым всегда идёт x.

Чек-лист решения

• Система записана фигурной скобкой, буквы в текстовой задаче объяснены
• Способ выбран по виду системы
• Выражение при подстановке взято в скобки
• При вычитании уравнений знаки сменены у всех слагаемых
• Найдены оба неизвестных, для каждого x — свой y
• Пара подставлена в оба исходных уравнения
• Ответ записан парой (x; y) или словами для особого случая

Уравнения к текстовой задаче удобно составлять по таблице, где строка — участник, а столбцы — величины: так разобраны задачи на движение, и с двумя неизвестными таблица работает так же. Остальные темы — в разделе решения задач.