Теорема Пифагора: задачи с решением

Формулировка и два условия, без которых она не работает

Прежде чем считать, проверьте два условия — на них держится вся теорема.

Первое: треугольник прямоугольный. Для остроугольных и тупоугольных треугольников равенство c² = a² + b² не выполняется, и применять его нельзя — это самая грубая ошибка темы.

Второе: буквы стоят на своих местах. В формуле c² = a² + b² буква c — только гипотенуза. Найти её на чертеже просто: она лежит напротив прямого угла и не участвует в его образовании. Полезная привычка — прежде чем писать формулу, отметить на чертеже прямой угол и подписать гипотенузу.

Определение одним предложением, как его удобно запоминать: квадрат, построенный на гипотенузе, по площади равен двум квадратам, построенным на катетах, вместе взятым.

Задача 1. Найти гипотенузу

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите гипотенузу.

1. Записываем теорему: c² = a² + b².
2. Подставляем: c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
3. Извлекаем корень: c = √225 = 15 см.

Ответ: 15 см. Проверка: 15² = 225 и 9² + 12² = 81 + 144 = 225 — сходится.

Как проверить себя без калькулятора. Гипотенуза обязана быть длиннее каждого катета, но короче их суммы: 15 больше 12 и меньше 9 + 12 = 21. Ответ, не попадающий в эту вилку, неверен ещё до всякой подстановки.

Типичная ошибка — забыть извлечь корень и записать в ответ 225. Квадрат стороны — это ещё не сторона.

Задача 2. Найти катет

Гипотенуза равна 13 см, один из катетов — 5 см. Найдите второй катет.

1. Выражаем катет из теоремы: b² = c² − a².
2. Подставляем: b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
3. Извлекаем корень: b = √144 = 12 см.

Ответ: 12 см. Проверка: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² — сходится.

Как проверить. Катет всегда короче гипотенузы: 12 меньше 13 — порядок.

Типичная ошибка — сложить вместо вычитания: 169 + 25 = 194. Складывают квадраты только при поиске гипотенузы; при поиске катета из квадрата гипотенузы вычитают. Если сомневаетесь, куда что, — вернитесь к записи c² = a² + b² и выразите нужную букву честным переносом.

Задача 3. Лестница у стены

Лестница длиной 10 м приставлена к стене, её нижний конец стоит в 6 м от стены. На какой высоте находится верхний конец лестницы?

Переводим на язык геометрии: стена и земля перпендикулярны, значит треугольник прямоугольный. Лестница — гипотенуза (10 м), расстояние от стены — катет (6 м), высота — второй катет.

1. h² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64.
2. h = √64 = 8 м.

Ответ: 8 м. Проверка: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² — сходится.

Такой перевод условия в чертёж — главный навык практических задач: лестница, столб с оттяжкой, дерево и его тень образуют один и тот же треугольник. Первым действием всегда рисуйте схему и подписывайте, что здесь гипотенуза.

Задача 4. Диагональ прямоугольника

Стороны прямоугольного участка — 15 м и 20 м. Найдите длину дорожки, проложенной по диагонали.

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, где стороны участка — катеты, а диагональ — гипотенуза.

1. d² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625.
2. d = √625 = 25 м.

Ответ: 25 м. Проверка: 25² = 625 и 225 + 400 = 625 — сходится.

Заодно видно, сколько диагональ экономит: путь по двум сторонам — 15 + 20 = 35 м, по диагонали — 25 м, короче на 10 м.

Задача 5. Треугольник с подвохом

В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, боковые стороны — по 10 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.

Подвох в том, что треугольник не прямоугольный — теорему к нему целиком применять нельзя. Но высота к основанию в равнобедренном треугольнике делит его на два равных прямоугольных треугольника: в каждом гипотенуза — боковая сторона (10 см), один катет — половина основания (16 / 2 = 8 см), второй — искомая высота.

1. h² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36.
2. h = √36 = 6 см.

Ответ: 6 см. Проверка: 8² + 6² = 64 + 36 = 100 = 10² — сходится.

Типичная ошибка — подставить в формулу целое основание 16 вместо половины. Высота работает только с половиной основания — это видно на чертеже, поэтому чертёж и здесь первым действием.

Задача 6. Катет, периметр и площадь

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, один из катетов — 6 см. Найдите периметр и площадь треугольника.

Задача в два этажа: сначала теорема Пифагора достаёт недостающую сторону, потом работают обычные формулы.

1. Второй катет: b² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, b = √64 = 8 см.
2. Периметр — сумма сторон: P = 6 + 8 + 10 = 24 см.
3. Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов: S = (6 · 8) / 2 = 48 / 2 = 24 см².

Ответ: периметр 24 см, площадь 24 см². Проверка катета: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² — сходится; совпадение чисел 24 и 24 — случайность этой тройки, а не правило.

Типичная ошибка — считать площадь через катет и гипотенузу: (6 · 10) / 2. Половина произведения работает только для двух катетов, потому что именно они перпендикулярны — один служит основанием, второй высотой.

Задача 7. Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна 5 см. Найдите диагональ.

Диагональ разрезает квадрат на два прямоугольных треугольника с равными катетами — сторонами квадрата:

1. d² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50.
2. d = √50 = 5√2 см ≈ 7,1 см.

Ответ: 5√2 ≈ 7,1 см. Проверка: (5√2)² = 25 · 2 = 50 — сходится.

Отсюда формула, которую стоит запомнить: диагональ квадрата равна стороне, умноженной на √2 ≈ 1,41. Работает в обе стороны — по диагонали сторона находится делением на √2.

Что такое египетский треугольник и зачем его запоминать?

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Проверка по теореме: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² — сходится. Название историческое: верёвкой с узлами, делящими её на 12 равных частей (3 + 4 + 5), в Древнем Египте строили прямой угол на местности.

Троек целых чисел, образующих прямоугольный треугольник, бесконечно много — их называют пифагоровыми. Самые ходовые стоит помнить наизусть:

Польза прямая: увидели в условии катеты 6 и 8 — гипотенуза 10 без возведения в квадрат, это удвоенная тройка 3-4-5. Составители задач любят пифагоровы тройки, потому что ответы получаются целыми, — в домашних задачах они встречаются постоянно. Заметьте: задачи 1–6 этой статьи целиком собраны из троек 3-4-5 и 5-12-13 и их кратных — и только диагональ квадрата обошлась без целых сторон.

Частые ошибки: за что снижают даже при верном ответе

1. Формула применена к непрямоугольному треугольнику. Проверяющие обычно снижают за это сильнее всего: ошибка не вычислительная, а понятийная. Прямой угол должен быть указан в условии или доказан.
2. Перепутаны катет и гипотенуза. Симптом: искомый катет получился длиннее гипотенузы. Такой ответ обязан остановить вас ещё до записи ответа.
3. Ответ без единиц измерения. Считали сантиметры — в ответе сантиметры. Число без размерности за полный ответ обычно не считают.
4. Нет промежуточных записей. Голое «c = 15» без строки c² = 81 + 144 = 225 выглядит как ответ, взятый из ответов. Ход решения — часть решения.
5. Корень извлечён с ошибкой. После извлечения корня возведите результат обратно в квадрат — это проверка в одно действие.

Чек-лист самопроверки перед сдачей домашней работы:

• Прямой угол отмечен на чертеже, гипотенуза подписана
• Формула записана до подстановки чисел
• Гипотенуза длиннее каждого катета
• Ответ проверен обратной подстановкой квадратов
• В ответе указана единица измерения

Привычка оформлять ход решения так, чтобы его можно было прочитать без автора, спасает не только в геометрии — почему проверяющие придираются к «голому ответу» и как записывать решение, разобрано в статье про оформление решения. Той же логике проверки подстановкой подчиняются и задачи на движение. Остальные темы с разборами — в разделе решения задач.