Задачи на совместную работу: формула и типы

Три величины и одна формула

Формула одна: A = p · t. Из неё p = A / t и t = A / p.

Если объём работы в задаче не назван — «бассейн», «заказ», «огород», — его принимают за 1. Если назван числом — «110 деталей», «300 страниц», — работают с этим числом.

При совместной работе производительности складываются: p = p₁ + p₂. Время при этом не складывается и не усредняется — это главная ловушка, о ней ниже.

Пример 1. Две трубы наполняют бассейн

Условие. Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы вместе?

Решение.

1. Производительность первой трубы: 1/6 бассейна в час.
2. Второй: 1/3 бассейна в час.
3. Вместе: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 бассейна в час.
4. Время: t = 1 : 1/2 = 2 часа.

Ответ: 2 часа.

Проверка. Вместе быстрее, чем самая быстрая труба по отдельности: 2 часа меньше 3 часов. Если бы получилось больше 3 часов, ответ точно неверен.

Пример 2. Бригады и общий заказ

Условие. Первая бригада может выполнить заказ за 12 дней, вторая — за 4 дня. За сколько дней они выполнят заказ, работая вместе?

Решение. Производительности: 1/12 и 1/4 заказа в день. Вместе: 1/12 + 3/12 = 4/12 = 1/3 заказа в день. Время: 1 : 1/3 = 3 дня.

Ответ: 3 дня.

Удобный приём для проверки — представить заказ в конкретных единицах, кратных обоим срокам. Пусть заказ — 12 изделий. Первая бригада делает 1 изделие в день, вторая — 3. Вместе 4 изделия в день, 12 изделий — за 3 дня. Сходится.

Пример 3. Найти время одного из участников

Условие. Две трубы вместе наполняют бак за 4 часа. Первая труба одна наполняет его за 6 часов. За сколько часов наполнит бак одна вторая труба?

Решение. Совместная производительность — 1/4 бака в час, первой трубы — 1/6. Вторая: 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12 бака в час. Время: 1 : 1/12 = 12 часов.

Ответ: 12 часов.

Проверка. Вторая труба медленнее первой, и это видно по смыслу: вместе они наполняют бак лишь немного быстрее, чем первая одна.

Пример 4. Одна труба наполняет, другая сливает

Условие. Первая труба наполняет бак за 3 часа, через вторую вода из полного бака уходит за 6 часов. Обе открыли одновременно в пустом баке. За сколько часов бак наполнится?

Решение. Наполнение: +1/3 бака в час, слив: −1/6 бака в час. Итог: 1/3 − 1/6 = 1/6 бака в час. Время: 6 часов.

Ответ: 6 часов.

Знак здесь — по смыслу: то, что уменьшает работу, вычитают. Если бы слив был быстрее наполнения, итоговая производительность получилась бы отрицательной, и бак не наполнился бы никогда.

Пример 5. Детали: задача с уравнением

Такие задачи встречаются во второй части ОГЭ и в первой части профильного ЕГЭ.

Условие. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее второго. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если первый делает в час на 1 деталь больше?

Решение. Пусть второй делает x деталей в час, тогда первый — x + 1. Время второго — 110/x, первого — 110/(x + 1). Первый быстрее на час:

110/x − 110/(x + 1) = 1.

Умножим на x(x + 1): 110(x + 1) − 110x = x(x + 1), то есть 110 = x² + x, или x² + x − 110 = 0. Корни: x = 10 и x = −11. Отрицательная производительность смысла не имеет.

Ответ: 10 деталей в час.

Проверка. Второй: 110 : 10 = 11 часов. Первый: 110 : 11 = 10 часов. Разница — 1 час, как в условии.

Таблица для таких задач — та же, что для задач на движение:

Сначала заполняют столбец, где всё известно (работа), потом обозначают неизвестное и выражают через него остальное. Уравнение составляют по той фразе условия, которая ещё не использована: здесь — «на 1 час быстрее».

Типичные ошибки

• Сложили время. «Первая за 6 часов, вторая за 3 — вместе за 9». Вместе всегда быстрее каждого, поэтому ответ больше меньшего из времён — сигнал, что складывали не то.
• Взяли среднее. «(6 + 3) : 2 = 4,5 часа». Среднее время не имеет отношения к совместной работе.
• Забыли, что работа — единица. Записали производительность как 6 вместо 1/6. Помогает проговаривать: «за час — какая часть бассейна?».
• Перепутали знак при сливе. Производительность слива вычитают из производительности наполнения, а не прибавляют.
• Не отбросили посторонний корень. Отрицательная производительность или время — не ответ, его нужно отбросить и написать почему.
• Разные единицы. Одна производительность в час, другая в минуту — приведите к одной.

Как проверить ответ

1. По смыслу. Совместное время меньше времени самого быстрого участника. Время одного участника больше совместного.
2. Конкретными числами. Возьмите объём работы, который делится на все сроки, — например, 12 изделий для сроков 12 и 4 дня, — и пересчитайте в штуках.
3. Подстановкой. Найденное значение подставьте в условие и проверьте каждую фразу, как в примере 5.

Больше о том, как проверять ответ и не терять баллы за запись, — в статье почему снижают за оформление решения. Общий порядок работы с текстовой задачей разобран в статье как научиться решать задачи. Уравнение из примера 5 после умножения на знаменатели становится квадратным; как решать линейные, к которым сводится часть задач, — в статье линейные уравнения: алгоритм. Родственный тип — задачи на движение: формула s = v · t устроена так же, как A = p · t.